在概率论学习中,传统教学通常从随机试验开始,以便复习高中阶段学习的样本空间和随机事件等基础概念.通过观察频率,我们能够观察到在试验次数逐渐增多时频率呈现稳定性,这反映了统计学规律,也是概率论研究的对象.在后续学习中,组合这一概念占据着核心地位,尤其在超几何分布和二项式分布中.因此，在深入学习概率论之前,我们先来复习一下简单的概率基础知识点.¹

目录

• 1.随机试验/样本空间/随机事件
  • 1.1 随机试验的定义和例子
  • 1.2 样本空间的定义和例子
  • 1.3 随机事件的定义和例子
• 2.频率/概率/古典概型
  • 2.1 频率/概率
  • 2.2 古典概型/放回抽样/不放回抽样
• 3.条件概率/全概率公式/贝叶斯公式
  • 3.1 条件概率公式
  • 3.2 全概率公式
  • 3.3 贝叶斯公式
• 4.事件之间的独立性
• 5.总结
• 6.下节预告
• References

1.随机试验/样本空间/随机事件

1.1 随机试验的定义和例子

• Define1：试验=做了一件事儿.随机试验=做的这件事儿需要满足一些条件.

• Ex1：试验的例子

    E1：扔了颗筛子

    E2：抛了枚硬币

• Define2：如果一个试验满足如下三个条件,则称该试验为随机试验

       (a):该试验能够在同一条件下进行多次重复

       (b):该试验的可能结果不止一个,且知道这些结果都是什么

       (c):进行试验之前,不知道哪个结果会发生

• Ex2：随机试验的例子(后面统一管随机试验叫做试验)

    E1：扔了颗筛子,观察其出现的点数

    E2：抛了枚硬币,观察其朝向

    E2：抛了3次枚硬币,观察其朝向

1.2 样本空间的定义和例子

• Define3：随机试验E的所有可能结果,叫做该试验的样本空间S

• 样本点：样本空间中的元素,也就是试验的每一个可能的结果.

• Ex3：

    E1：扔了一颗筛子,观察其出现的点数S1:{1,2,3,4,5,6}

    E2：抛了枚硬币,观察其朝向S2:{正,反}

    E2：抛了3次枚硬币,观察其朝向S3:{正正正,正正反,正反反,正反正,反正正,反正反,反反正,反反反}

1.3 随机事件的定义和例子

• Define4：随机试验E的样本空间S的一个子集A,叫做随机事件A.

• Ex4：

    取S1的一个子集:\(A_1\) = {1,2} 或者\(A_1\) = {1,2,3} , \(A_1\) = {1,2,3,4,5,6}(它叫做必然事件) , \(A_1\) = {i}(i=1,2,3,4,5,6其中的任何一个,它叫做基本事件) , \(A_1\) = {7}(它叫做不可能事件)

2.频率/概率/古典概型

2.1 频率/概率

  为了得到概率,我们先来看一下与其密切相关的一个概念,频率

  举个例子：假设在相同的条件下,我们进行了n次重复试验,其中事件A发生的次数为\(n_A\),则\(f_n(A) = \frac{n_A}{n}\)称为事件A发生的频率.频率反映了事件A发生的频繁程度²

  下面看一个经典的频率试验:假设我们的试验是仍一枚硬币,观察其朝向,n是试验所重复的次数,H代表事件:正面朝上,\(f_n(A)\)代表其频率.

  通过观察上面的表格,可以得到如下三个事实.²

  (a) 频率有随机波动性,同样的n次试验,频率\(f_n(H)\)并不同

  (b) n较小时波动很大,n增大时趋于稳定

  (c) \(f_n(H)\)在0.5附近随机摆动并逐渐稳定于0.5

注意：当重复试验的次数n逐渐增大的时候,某个事件的频率逐渐趋向于稳定.有统计学家证明了当频率趋向于稳定的时候,频率=概率,即\(f_n(A)_{n \to \infty} = p(A)\),p(A)表示事件A发生的概率.

2.2 古典概型/放回抽样/不放回抽样

• Define5：若试验E满足如下两个条件,则称该试验为古典概型:

       (a):该试验的样本空间只包含有限个结果

       (b)该试验中的每个基本事件发生的概率相同

• Define6：一只口袋有6只球：4只白的,2只红的.从袋中取球两次,每次随机取一只,考虑两种取球方式：

       (a):放回抽样：第一次取一只球,观察颜色后放回袋中,搅匀后再取一只

       (b)不放回抽样：第一次取一只球不放回袋中,第二次从剩余球中再取一只

3.条件概率/全概率公式/贝叶斯公式

3.1 条件概率公式

3.2 全概率公式

  假设一个试验E的样本空间为S,\(B_i\)为其事件,其中\(B_i \cap B_j = \emptyset ， \forall i\neq j\),且\(\cup_{i=1}^{n} B_i = S\) ,则对于E中任何一个事件A,有如下的全概率公式.

3.3 贝叶斯公式

  假设一个试验E的样本空间为S,\(B_i\)为其事件,其中\(B_i \cap B_j = \emptyset ， \forall i\neq j\),且\(\cup_{i=1}^{n} B_i = S\) ,A为E的一个事件,则有如下贝叶斯公式:

4.事件之间的独立性

  如果事件A发生的概率不影响事件B发生的概率,反之也对的话,那么称A和B相互独立!

• Define7：A和B相互独立,当且仅当:\(P(AB) = P(A)P(B),P(A)>0 , P(B)>0\)

注意：A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.因为如果A,B相互独立可以得到P(AB)>0,但如果A,B互不相容得到了P(AB)=0.即相互独立\(\neq\)A与B不相交

5.总结

6.下节预告

• 数据的类型(离散型与连续型)
• 随机变量的本质意义
• 离散型随机变量及其四种分布
• 随机变量的分布函数
• 连续型随机变量及其分布
• 随机变量的函数的分布

References